4.1 Pascal's Triangle - 彩色打印版

1. 帕斯卡三角形的基本概念

帕斯卡三角形是一个由数字组成的三角形阵列，其中每个数字都是其上方两个数字的和。

Pascal's triangle is a triangular array of numbers where each number is the sum of the two numbers above it.

        1
       1 1
      1 2 1
     1 3 3 1
    1 4 6 4 1
   1 5 10 10 5 1
  1 6 15 20 15 6 1
 1 7 21 35 35 21 7 1

构造规律

第一行只有一个数字 1
每行的两端都是 1
中间的数字等于其上方两个数字的和
三角形是对称的
每行数字的和等于 2^n

2. 二项式展开系数

帕斯卡三角形的第 (n+1) 行给出了 (a+b)^n 展开式中各项的系数。

The (n+1)th row of Pascal's triangle gives the coefficients in the expansion of (a+b)^n.

展开式示例

\((a+b)^0 = 1\) ← 第1行: 1

\((a+b)^1 = a + b\) ← 第2行: 1, 1

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ← 第3行: 1, 2, 1

\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) ← 第4行: 1, 3, 3, 1

\((a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\) ← 第5行: 1, 4, 6, 4, 1

重要规律

在 \((a+b)^n\) 的展开式中，每一项的总指数都是 \(n\)

例如：在 \((a+b)^4\) 中，\(6a^2b^2\) 的总指数是 \(2+2=4\)

3. 使用帕斯卡三角形展开

例题1：展开 \((x+2y)^3\)

步骤1： 确定指数 n=3，找到第4行系数：1, 3, 3, 1

步骤2： 写出各项：

\((x+2y)^3 = 1 \cdot x^3 + 3 \cdot x^2(2y) + 3 \cdot x(2y)^2 + 1 \cdot (2y)^3\)

步骤3： 化简：

\(= x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3\)

例题2：展开 \((2x-5)^4\)

步骤1： 确定指数 n=4，找到第5行系数：1, 4, 6, 4, 1

步骤2： 写出各项：

\((2x-5)^4 = 1 \cdot (2x)^4 + 4 \cdot (2x)^3(-5) + 6 \cdot (2x)^2(-5)^2 + 4 \cdot (2x)(-5)^3 + 1 \cdot (-5)^4\)

步骤3： 化简：

\(= 16x^4 - 160x^3 + 600x^2 - 1000x + 625\)

4. 关键要点总结

重要规律

帕斯卡三角形是对称的
每行数字的和等于 2^n
对角线上的数字有特殊意义
与组合数学密切相关
第n行的第k个数字等于 C(n-1, k-1)

常见错误

混淆行数和指数
忘记处理负号
系数计算错误
指数分配错误
括号使用不当

学习建议

1. 熟练掌握帕斯卡三角形的构造规律

2. 多做练习，熟悉各种形式的二项式展开

3. 注意符号的处理，特别是负号

4. 理解帕斯卡三角形与组合数学的关系

5. 练习题精选

基础练习

1. 写出 \((x+y)^5\) 的展开式

2. 求 \((2x-3)^4\) 展开式中 \(x^2\) 的系数

3. 展开 \((a+2b)^3\)

进阶练习

4. \((1+3x)(1+2x)^3\) 的完全展开

5. \((2+ax)^3\) 展开式中 \(x^2\) 的系数是54，求a的值

6. \((x^2-\frac{1}{2x})^3\) 展开式中的常数项